কোয়ান্টাম মেকানিক্স (Quantum Mechanics) – Page 4

শ্রোডিঙ্গার ইক্যুয়েশন

এতদিনে আমরা তরঙ্গ-কণা দ্বৈত, আনসার্টেনটি নীতি, ওয়েভ ফাংশন, অপারেটর ও তাদের এক্সপেকটেশন ভ্যালূ – কোয়ান্টাম মেকানিক্সের এই বনিয়াদি ব্যাপারগুলি সম্মন্ধে জেনেছি। আজ আমরা আরো একটু এগিয়ে যাবো। তোমরা দেখেছো যে কোন কোয়ান্টাম সিষ্টেমের সমস্ত তথ্য ওই সিষ্টেমের ওয়েভ ফাংশনের মধ্যেই ভরা থাকে; ওয়েভ ফাংশনটিকে খু৺জে পেলেই ওই সিষ্টেম সম্মন্ধে যা কিছু জানা সম্বভ তার সবটাই জানা যায়। ওয়েভ ফাংশন গণনা করার উপায় প্রথম আবিষ্কার করেছিলেন অস্ট্রীয়ান পদার্থবিদ এরউইন রূডল্ফ যোসেফ আলেক্সান্ডার শ্রোডিঙ্গার (Erwin Rudolf Josef Alexander Schrodinger)। এই মহান বিজ্ঞানীর নাম বাংলাতে লেখাটা একটু খটমটে বিষয়। অনেকে লেখেন “এরভিন শ্রোডিঙার”, কেউ কেউ আবার বলেন “শ্রয়ডিঙ্গার”, “শ্রডিঙ্গার” ইত্যাদি। Continue reading “শ্রোডিঙ্গার ইক্যুয়েশন”

এক্সপেকটেশন ভ্যালূ গণনা – একটি উদাহরণ

আজ আমাদের আলোচ্য বিষয় হল কোন একটি প্রদত্ত ওয়েভ ফাংশন থেকে বিভিন্ন পরিমাপযোগ্য রাশির এক্সপেকটেশন ভ্যালূ গণনা। এর আগের পোস্টের প্রবন্ধটি পড়ে থাকলে আজকের এই বিষয়টি বুঝতে তোমাদের বিন্দুমাত্র অসুবিধা হবেনা; উল্টে তোমরাই আমাকে শিখিয়ে দিতে পারবে! তবুও সম্পূর্ণতার স্বার্থে আমি একটি উদাহরণ দিয়ে ব্যাপারটি একটু আলোচনা করব। ধর আমরা কোন একটি কোয়ান্টাম কণার গতি সম্পর্কিত বিভিন্ন পরিমাপযোগ্য রাশি যেমন অবস্থান ( $x$ ), ভরবেগ ( $p$ ) এবং গতিশক্তির ( $E_k$ ) এক্সপেকটেশন ভ্যালূ বা গড় মান নির্ণয় করতে চাই। সেজন্য আমাদের প্রথমেই যেটা চাই সেটা হল ওই কণার ওয়েভ ফাংশন। ওয়েভ ফাংশন কিভাবে গণনা করতে হয় সেটা তোমরা এর পরের পোষ্টে দেখতে পাবে। আজ আমি একটি ওয়েভ ফাংশন তোমাদের দিয়ে দেব! Continue reading “এক্সপেকটেশন ভ্যালূ গণনা – একটি উদাহরণ”

অপারেটর ও এক্সপেকটেশন ভ্যালূ

গত পোষ্টের পর অনেকগুলি দিন অতিবাহিত হয়ে গেছে, অথচ নতুন পোষ্ট করা হয়ে ওঠেনি। আসলে এ-কয়েকদিন একটি ছোট্ট কোয়ান্টাম সিষ্টেমের ওয়েভ ফাংশন ক্যালকুলেট করাতে মগ্ন ছিলাম। এটা শুনে আবার আমাকে একটা দাম্ভিক পণ্ডিত ভাবতে বোসনা যেন; আমি একেবারেই সাদাসিধে মা-মাটির-মানুষ ! এই প্রসঙ্গটা তুললাম তার কারণ এর পরের কিছু পোষ্টে আমরা জানব কিভাবে কোন সিষ্টেমের ওয়েভ ফাংশন গণনা করা হয়। শুধু তাই নয়, আমরা এটাও জানব কিভাবে ওয়েভ ফাংশন থেকে কোয়ান্টাম সিষ্টেমের শক্তি নির্ণয় করা যায়। তবে তার আগে আমাদের অপারেটর ও এক্সপেকটেশন ভ্যালূ – কথা দুটির মানে ভালো করে বুঝে নিতে হবে। Continue reading “অপারেটর ও এক্সপেকটেশন ভ্যালূ”

প্রবাবিলিটি ও গড় মান

ধর তুমি একটি কয়েন টস করলে। তাহলে হেড পাওয়ার সম্ভাবনা কত? সহজ প্রশ্ন; তোমরা সকলেই জানো যে এর উত্তর হল 50% (বা ভগ্নাংশে বললে 0.5)। এখন প্রশ্ন হল কিভাবে এই উত্তর এল? কয়েন টস করলে হয় হেড পড়বে নয়তো টেইল পড়বে। অর্থাৎ সম্ভাব্য ফলের মোট সংখ্যা 2। যেহেতু হেড ও টেইল পড়ার সম্ভাবনা সমান, তাই তার মধ্যে যেকোন একটি ফল পাওয়ার সম্ভাবনা হল 1/2 বা 0.5 বা 50%। চল আরেকটি উদাহরণ দেওয়া যাক। মনে কর একটি ব্যাগের মধ্যে 2 টি কালো বল ও 6 টি লাল বল আছে। তাহলে চোখ বন্ধ করে ব্যাগের থেকে একটি কালো বল বের করার সম্ভাবনা কত? ব্যাগের মধ্যে মোট বলের সংখ্যা 2 + 6 = 8। আর মোট কালো বলের সংখ্যা 2। অর্থাৎ মোট 8 টির মধ্যে 2 টি বল কালো। সুতরাং চোখ বন্ধ করে ব্যাগের মধ্যে থেকে একটি বল বের করলে তার কালো হওয়ার সম্ভাবনা বা প্রবাবিলিটি = 2/8 = 1/4 = 0.25 বা 25%। Continue reading “প্রবাবিলিটি ও গড় মান”

কোয়ান্টাম আনসার্টেনটি – প্রকৃতির বৈশিষ্ট না আমাদের অজ্ঞতা?

প্রকৃতিকে বোঝার চেষ্টায় মানুষের আবিষ্কৃত সফলতম তত্ত্বের অন্যতম হল কোয়ান্টাম মেকানিক্স। অথচ কণার অবস্থান মাপার মত সহজ পরীক্ষার ফল কি হবে সেটাও কোয়ান্টাম মেকানিক্স নিশ্চয়তার সঙ্গে বলতে পারেনা। এটা শুধু কোন পরীক্ষার সম্ভাব্য ফল কি কি হতে পারে এবং সেগুলি পাওয়ার সম্ভাবনা কতটা তাই ব্যক্ত করতে পারে। এই কোয়ান্টাম অনিশ্চয়তা কোয়ান্টাম তত্ত্বের জন্মলগ্ন থেকেই পদার্থবিদ থেকে শুরু করে দার্শনিক, সকলকেই সমানভাবে বিহ্বল করেছে। আইনস্টাইন তো একবার বিরক্ত হয়ে বলেই দিয়েছিলেন “God does not play dice (ভগবান পাশা খেলেন না)”। অথচ আইনস্টাইনের নিজের কোয়ান্টাম মেকানিক্স সৃষ্টিতে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা ছিল। তাই আমাদের মনেও এই সন্দেহটা আসা খুবই স্বাভাবিক যে কোয়ান্টাম অনিশ্চয়তা কি সত্যিই প্রকৃতির অন্তর্নিহিত বৈশিষ্ট, না কি প্রকৃতি সম্মন্ধে আমদের অজ্ঞতার ফল? আজ এই প্রশ্নটিই আলোচনা করব। Continue reading “কোয়ান্টাম আনসার্টেনটি – প্রকৃতির বৈশিষ্ট না আমাদের অজ্ঞতা?”

ওয়েভ ফাংশন #২

এর আগে আমরা জেনেছি ওয়েভ ফাংশন কি। নর্মালাইজেশন শব্দটাও একবার উচ্চারন করেছিলাম! চল আরেকটু ভাল করে বুঝে নেই এই নর্মালাইজেশন ব্যাপারটা। আমি ধরে নেব ক্যালকুলাস সম্মন্ধে তোমাদের সামান্য হলেও ধারণা আছে। নাহলে নিচে লেখা অনুচ্ছেদগুলির মানে বুঝতে অসুবিধা হতে পারে। যদি $Psi(x, t)$ কোন কণার ওয়েভ ফাংশন হয় তবে স্পেসে $x$ বিন্দুর আশেপাশে খুব ক্ষূদ্র পরিসরে কোন সময় $t$ তে ওই কণাটির অস্তিত্বের সম্ভাবনা $|Psi(x, t)|^{2} dx$ । তাহলে ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাসের নিয়ম থেকে তোমরা জানো যে দুটি বিন্দু $x_1$ ও $x_2$ -র মাঝে কণাটির থাকার সম্ভাবনা $\int_{x_1}^{x_2}|Psi(x, t)|^{2}mathrm{d}x$ । এবারে যদি তুমি ইন্টিগ্রেশনের লিমিট বাড়াতে বাড়াতে ইনফিনিটি বা অসীম পর্যন্ত নিয়ে যাও তবে বলতো কণাটিকে ওই লিমিটের মাঝে পাওয়ার সম্ভাবনা কত? Continue reading “ওয়েভ ফাংশন #২”

ওয়েভ ফাংশন – কোয়ান্টাম সিষ্টেমের তথ্যের ধারক

ওয়েভ ফাংশন হল কোন কোয়ান্টাম সিষ্টেমের সমস্ত তথ্যের আধার বা ধারক (container of information)। এখানে কোয়ান্টাম সিষ্টেম বলতে বোঝানো হয়েছে যেকোন সিষ্টেম (যেমন কণা বা কণা সমষ্টি) যেখানে কোয়ান্টাম মেকানিক্স প্রয়োগ করা হয়েছে বা করা সম্ভব। এর আগের পোষ্টে আমরা দেখেছি তরঙ্গের উপরিপাত বা superposition -এর মাধ্যমে ওয়েভ প্যাকেট তৈরী করা যায়। এই ওয়েভ প্যাকেট ওয়েভ ফাংশনের একটি উদাহরণ। কোয়ান্টাম মেকানিক্সে যেকোন গণনা বা calculation -এর উদ্দেশ্যই হল ওয়েভ ফাংশন নির্ণয় করা। একবার ওয়েভ ফাংশন নির্ণয় করতে পারলে ওই সিষ্টেম সম্মন্ধে যা কিছু জানার আছে তার সবটাই জেনে ফেলা সম্ভব। চল দেখা যাক এই ওয়েভ ফাংশন আসলে কি! [বি. দ্র. – এই প্রবন্ধে শুধু এক মাত্রিক সিষ্টেম (one dimensional) সম্মন্ধেই আলোচনা করা হয়েছে।] Continue reading “ওয়েভ ফাংশন – কোয়ান্টাম সিষ্টেমের তথ্যের ধারক”

তরঙ্গ কণা দ্বৈত ও আনসার্টেনটি

দ্য ব্রোয়ির (de Broglie) তত্ত্ব থেকে আমরা জানতে পারি যে প্রত্যেক গতিশীল বস্তুকণার তরঙ্গ ও কণা দুই সত্তাই একসাথে বিরাজ করে। এই ব্যাপারটাকে একটু ভালো করে বুঝে নেওয়া দরকার, কারণ তরঙ্গ ও কণা এই দুটি পরস্পরের বিপরীতধর্মি বৈশিষ্ট। তরঙ্গ হল এক ধরনের আন্দোলন (disturbance) যা কোন মাধ্যমের মধ্যে দিয়ে কিংবা কোন মাধ্যম ছাড়াই চারদিকে ছড়িয়ে পড়ে শক্তির স্থানান্তরণ ঘটায়; অপরপক্ষে ক্লাসিক্যাল মেকানিক্স অনুসারে বস্তুকণা বলতে আমরা বুঝি নির্দিষ্ট ভরযুক্ত এমন কোন বস্তু যার আকার ও আয়তন অতিক্ষুদ্র। তরঙ্গ একই সময়ে বহুদূর পর্যন্ত বিস্তৃত হতে পারে; কিন্তু ক্লাসিক্যাল কণা কোন মুহূর্তে একটি অতিক্ষুদ্র স্থানেই আবদ্ধ থাকে। একটি উদাহরণ দেওয়া যাক – তুমি যদি ঘরে প্রদীপ জ্বালাও তবে আলোর তরঙ্গ একই সাথে পুরো ঘরময় বিস্তৃত থাকবে। কিন্তু ক্লাসিক্যাল মেকানিক্স অনুসারে কণার পক্ষে তা সম্ভব নয়। আরও একটি গুরুত্বপূর্ণ পার্থক্য আছে তরঙ্গ ও ক্লাসিক্যাল কণার মাঝে। Continue reading “তরঙ্গ কণা দ্বৈত ও আনসার্টেনটি”

কোয়ান্টাম মেকানিক্স – ৫ – আনসার্টেনটি প্রিন্সীপল

“…না পেয়ে তোমার দেখা দিন যে আমার কাটে না রে…”।
দেখা পাবে কোথা থেকে? সে যে ইলেকট্রন! 😉 কখন কোথায় থাকবে বা কোন দিকে যাবে তা একসাথে নিশ্চিত করে জানার যো নেই। ১৯২৭ সালে জার্মান পদার্থবিদ ওয়ার্ণার হাইজেনবার্গ কোয়ান্টাম কণাদের এই ক্যারেক্টার সার্টিফিকেট (বকলমে তত্ত্ব) দিয়েছিলেন। এবারে আমরা আলোচনা করব হাইজেনবার্গের সেই বিখ্যাত তত্ত্ব সম্পর্কে।

ধর, একটি বস্তুকণাকে নির্দ্দিষ্ট বেগে কোন নির্দ্দিষ্ট স্থান থেকে নিক্ষেপ করা হয়েছে। ক্লাসিক্যাল মেকানিক্স অনুসারে নিউটনের গতিসূত্র ব্যবহার করে আমরা কিছু সময় পরে ওই বস্তকণার গতিবেগ ও অবস্থান দুটোই একসাথে নির্ভুলভাবে (arbitrary precision) নির্ণয় করতে পারি। কিন্তু যদি বস্তকণাটি কোয়ান্টাম মেকানিক্স মেনে চলে তাহলে তার গতিবেগ ও অবস্থান দুটোই একসাথে নির্ভুলভাবে (arbitrary precision) পরিমাপ করা সম্বভ নয়। Continue reading “কোয়ান্টাম মেকানিক্স – ৫ – আনসার্টেনটি প্রিন্সীপল”

কোয়ান্টাম মেকানিক্স – ৪ – তরঙ্গ-কণা দ্বৈত সত্তা

এর আগে আমরা দেখেছি যে বোরের তত্ত্ব ইলেকট্রনের ষ্টেশনারী অরবিটের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য কোয়ান্টাইজেশন নীতির উৎপত্তি সম্পর্কে কোন ব্যাখ্যা দেয়না। এই সমস্যার উত্তর খুজতে গিয়ে ১৯২৪ খ্রীষ্টাব্দে ফরাসী বিজ্ঞানী লুই দ্য ব্রোয়ি (de Broglie, লুই ডি ব্রগলী) সম্পূর্ণ মৌলিক একটি প্রস্তাব করেন। দ্য ব্রোয়ির এই প্রস্তাবটি আলোচনা করার আগে আমরা অন্য আরেকটি বিষয়ে একটু চোখ বুলিয়ে নেব। ম্যাক্সওয়েলের তড়িৎ-চুম্বকীয় তত্ত্ব ও থমাস ইয়ংয়ের ডাবল স্লিট পরীক্ষার মাধ্যমে উণবিংশ শতাব্দিতে এটা প্রমাণ হয়ে গিয়েছিল যে আলো এক প্রকার তরঙ্গ। বিংশ শতাব্দির শুরুতে আইনস্টাইন (ফোটো-ইলেক্ট্রিক এফেক্ট) ও ম্যাক্স প্লাঙ্কের (ব্ল্যাকবডি বিকিরণ) কাজ থেকে এটা বোঝা যায় যে আলোর কণা ধর্মও আছে। অর্থাৎ আলো তরঙ্গ ও কণা দুই রকম ভাবেই আচরণ করে। আলোর এই দ্বৈত বৈশিষ্ট থেকেই দ্য ব্রোয়ি বোরের কোয়ান্টাইজেশন নীতির উৎপত্তি সম্পর্কিত ধাঁধার উত্তর খুজে পান। Continue reading “কোয়ান্টাম মেকানিক্স – ৪ – তরঙ্গ-কণা দ্বৈত সত্তা”