quantum mechanics in bengali

স্টেশনারি স্টেট বা স্থানু ওয়েভ ফাংশনের বৈশিষ্ট

এতদিনে তোমরা অবশ্যই জেনে গেছ যে স্টেশনারি স্টেট বা স্থানু ওয়েভ ফাংশনগুলি হল সময় অনির্ভর শ্রোডিঙ্গার সমীকরণের সমাধান। ওদের কিছু বৈশিষ্ট তোমাদের বলেও দিয়েছি। আজকের আলোচনার উদ্দেশ্য স্টেশনারি স্টেটগুলির সমস্ত গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্টগুলিকে একত্রিত করে সংক্ষেপে লেখা, যাতে কিনা যখনই প্রয়োজন পড়বে তখওনই চট করে ঝালিয়ে নেওয়া যায়। তোমাদের কারও যদি রান্না করার অভিজ্ঞতা থাকে তাহলে বুঝবে যে প্রয়োজনের সমস্ত জিনিস হাতের কাছে গুছিয়ে রাখার গুরুত্ব কতটা। নাহলে সেই রান্না করা খাবার ফ্রীতে দিলেও কেউ খাবেনা। পুরোটাই নর্দমার পেটে যাবে। অতএব $n$ তম স্থানু স্টেটের ওয়েভ ফাংশন লিখে চল শুরু করা যাক,

$\displaystylePsi_n(x,t) = Psi_n(x)e^{-iE_nt/\hbar}$ ———- (1) Continue reading “স্টেশনারি স্টেট বা স্থানু ওয়েভ ফাংশনের বৈশিষ্ট”

ইনফাইনাইট ওয়েলের সময় নির্ভর ওয়েভ ফাংশন – একটি উদাহরণ

তোমরা দেখেছো যে ষ্টেশনারি স্টেটগুলোকে মিশিয়ে আমরা ইনফাইনাইট ওয়েলের সময় নির্ভর জেনারেল সমাধান লিখতে পারি। মনে কর ইনফাইনাইট ওয়েলে অবস্থিত কোন কণার প্রারম্ভিক ( $t=0$ ) ওয়েভ ফাংশন ওই ওয়েলের $m$ ও $n$ তম লেভেলের স্থানু বা ষ্টেশনারি স্টেটের সংমিশ্রণ। অর্থাৎ,

$\displaystylePsi(x, 0) = A\left[Psi_n(x) + Psi_m(x)\right]$ ———– (1)

যেখানে $A$ হল নর্মালাইজেশন ধ্রুবক। আমাদের আজকের আলোচনার বিষয়বস্তু হল উপরোক্ত প্রারম্ভিক ওয়েভ ফাংশন সময়ের সাথে কিভাবে পরিবর্তিত হয় সেটা দেখা এবং তার থেকে কণাটির অবস্থান ( $x$ ), রৈখিক ভরবেগ ( $p$ ) ও শক্তির গড় মান বা এক্সপেকটেশন মান নির্ণয় করা। Continue reading “ইনফাইনাইট ওয়েলের সময় নির্ভর ওয়েভ ফাংশন – একটি উদাহরণ”

ইনফাইনাইট কোয়ান্টাম ওয়েলের জেনারেল সমাধান – আরও একটু

এক ঝলকে একটু দেখা, আরও একটু বেশি হলে ক্ষতি কি? যদি কাটেই জীবন ফিজিক্স পড়ে, আরও একটু বেশি জেনে, ক্ষতি কি? তাই আজ আমরা কোয়ান্টাম ওয়েলের জেনারেল সমাধানটিকে নিয়ে আরও একটু নাড়াচাড়া করবো, আরও একটু বেশি জানবো। যেমন জেনারেল সমাধানের ধ্রুবকগুলির তাৎপর্য কি, ওগুলোর বৈশিষ্টই বা কি ইত্যাদি। তাহলে চটপট জেনারেল সমাধানটিকে লিখে ফেল,

$Psi(x, t) = \displaystyle\sum_n a_nPsi_n(x)e^{-iE_nt/\hbar}$

যেখানে $Psi_n(x)$ হল $n$ -তম লেভেলের স্থানু ওয়েভ ফাংশন যাতে কণার শক্তি $E_n$ । আশাকরি তোমাদের মনে আছে যে ওয়েভ ফাংশনকে সবসময়ই নর্মালাইজড থাকতে হবে (মনে কর কেন?)। সুতরাং, Continue reading “ইনফাইনাইট কোয়ান্টাম ওয়েলের জেনারেল সমাধান – আরও একটু”

ফুরিয়ের সিরিজ ও ইনফাইনাইট ওয়েলের ওয়েভ ফাংশন

এর আগেরদিন আমরা ইনফাইনাইট কোয়ান্টাম ওয়েলের ওয়েভ ফাংশন কিভাবে সময়ের উপর নির্ভর করে সেটা দেখেছি। আজ একটি উদাহরণ দিয়ে দেখানোর চেষ্টা করব কিভাবে ফুরিয়ের সিরিজ ব্যবহার করে কোয়ান্টাম ওয়েলের জেনারেল সমাধান কোন প্রদত্ত প্রারম্ভিক শর্ত বা initial condition -এর সাথে মেলানো যায়। তার জন্য চল প্রথমেই জেনারেল সমাধানটি লেখা যাক,

$Psi(x, t) = \displaystyle\sum_n a_nPsi_n(x).mathrm{exp}\left(-iE_nt/\hbar\right)$ —- (1)

বা, $Psi(x, t) = \displaystyle\sum_n a_nPsi_n(x, t)$ —— (2) Continue reading “ফুরিয়ের সিরিজ ও ইনফাইনাইট ওয়েলের ওয়েভ ফাংশন”

ইনফাইনাইট কোয়ান্টাম ওয়েল – সময় নির্ভর ওয়েভ ফাংশন

তোমাদের নিশ্চয় মনে আছে যে শ্রোডিঙ্গারের সমীকরণ মূলত একটি সময় নির্ভর সমীকরণ। সুতরাং তার সমাধানও সময়ের উপর নির্ভর করবে সেটাই স্বাভাবিক। যেহেতু ইনফাইনাইট ওয়েলের পোটেনশিয়াল বা স্থিতিশক্তি সময়ের উপর নির্ভর করেনা তাই আমরা শ্রোডিঙ্গারের সমীকরণের সমাধান ওয়েভ ফাংশনকে টেম্পোরাল (temporal – সময়ের উপর নির্ভরশীল) ও স্পেশিয়াল (spatial – স্পেস বা স্থানের উপর নির্ভরশীল) পার্টে আলাদা করে নিতে পেরেছি। তার মানে কিন্তু এটা নয় যে ইনফাইনাইট ওয়েলের ওয়েভ ফাংশন সময় অনির্ভর! আজকের পোষ্টে আমরা দেখব কিভাবে ইনফাইনাইট কোয়ান্টাম ওয়েলের সময় অনির্ভর ওয়েভ ফাংশন থেকে সময় নির্ভরশীল ওয়েভ ফাংশন লেখা যায়। তোমরা জানো যে, যদি কোয়ান্টাম ওয়েলের কোন লেভেল বা স্টেটের প্ৰিন্সীপল কোয়ান্টাম নম্বর n হয়, তবে সেই লেভেলের স্টেশনারী ওয়েভ ফাংশন ( $Psi_n(x)$ ) ও শক্তি ( $E_n$ ) হল যথাক্রমে, Continue reading “ইনফাইনাইট কোয়ান্টাম ওয়েল – সময় নির্ভর ওয়েভ ফাংশন”

ইনফাইনাইট কোয়ান্টাম ওয়েলের ওয়েভ ফাংশন – আরও কিছু কথা

ইনফাইনাইট কোয়ান্টাম ওয়েল বা কূপের সম্মন্ধে কিছু মজার কথা আগের পোষ্টে তোমরা জেনেছো; আজ আরও কিছু কথা আজ তোমাদের বলব। ইনফাইনাইট কোয়ান্টাম ওয়েলের ক্ষেত্রে সময় অনির্ভর শ্রোডিঙ্গার সমীকরণের সমাধান হল

$Psi_n(x) = sqrt{\frac{2}{L}}mathrm{sin}(npi x/L)$

যেখানে $L$ হল কূপের প্রস্থ (width)। যেহেতু ওয়েভ ফাংশন n-এর মানের উপর নির্ভর করে এবং বিভিন্ন n-এর মানের জন্য আলাদা আলাদা ওয়েভ ফাংশন পাওয়া যাবে, তাই ওয়েভ ফাংশনটিকে $Psi_n(x)$ হিসেবে লেখা হয়েছে। নিচের ছবিটিতে n এর কয়েকটি মানের জন্য ওয়েভ ফাংশন দেখতে কেমন হবে তা একে দেখানো হয়েছে। Continue reading “ইনফাইনাইট কোয়ান্টাম ওয়েলের ওয়েভ ফাংশন – আরও কিছু কথা”

ইনফাইনাইট কোয়ান্টাম ওয়েল (কূপ)

এতদিন আমরা কোয়ান্টাম মেকানিক্সের মূল বিষয়গুলো আলোচনা করেছি। আজ আমি কোয়ান্টাম মেকানিক্স প্রয়োগের একটি সহজ উদাহরণ দেব। মনে কর একটি বলকে গভীর কূপের মধ্যে ফেলে দেওয়া হল; নিউটোনিয়ান মেকানিক্স অনুসারে কিভাবে কূপের মধ্যে ফেলা হয়েছে তার উপর নির্ভর করে বলটির গতিশক্তির যেকোনো মান থাকতে পারে। গতিশক্তি শূন্যও হতে পারে; কূপের ব্যাসার্ধ ছোট কিংবা বড় করা হলেও বলের শক্তির কোন পরিবর্তন হয়না। কিন্তু যদি বলের বদলে একটি ইলেকট্রন বা অন্য কোন কোয়ান্টাম কণাকে (যার জন্য কোয়ান্টাম মেকনিক্স প্রযোজ্য) কূপের মধ্যে ফেলা হয়, তবে দেখা যায় যে ওর শক্তি কখওনই শূন্য হতে পারেনা; গতিশক্তির একটি সর্বনিম্ন মান সবসময়ই থাকে। শুধু তাই নয়, কূপের ব্যাসার্ধ যত ছোট করা হয়, কূপের মধ্যে অবস্থিত ইলেকট্রনের গতিশক্তি ততই বাড়তে থাকে। কোয়ান্টাম কণার এই অদ্ভুত আচরনের কারণ হল হাইজেনবার্গের অনিশ্চয়তা নীতি (একটু ভেবে দেখো) বা কণার তরঙ্গ ধর্ম। Continue reading “ইনফাইনাইট কোয়ান্টাম ওয়েল (কূপ)”

কোয়ান্টাম অপারেটর, সহজ করে

আজকের বিষয়বস্তু খুব ছোট্ট। এদ্দিনে তোমরা “অপারেটর” – এই শব্দটা অনেকবার শুনেছো; অনেকে হয়তো ওটার মানে খুব ভালো করে বুঝেও গেছো। আমাদের আজকের আলোচনা শুধু সেইসব বন্ধুদের জন্য যাদের এখনো পর্যন্ত শব্দটা শুনলে মাথায় ঠিক “ঘন্টা” বাজেনা। বন্ধুগণ, চিন্তার কোনো কারণ নেই! কথায় আছেনা – “একবারে না পারিলে কর শতবার”। তাই আমি চেষ্টা করব আরো একটু সহজ করে এই অপারেটর শব্দটা তোমাদের মস্তিষ্কে প্রবেশ করানোর। আশাকরি তোমাদের মাথার খূলি আমার মত এত মোটা নয় যে আঠারোবার চেষ্টা করে তারপর সফল হতে হবে! আমার বিশ্বাস তোমরা একবারেই শিখে যাবে। Continue reading “কোয়ান্টাম অপারেটর, সহজ করে”

শ্রোডিঙ্গার ইক্যুয়েশন

এতদিনে আমরা তরঙ্গ-কণা দ্বৈত, আনসার্টেনটি নীতি, ওয়েভ ফাংশন, অপারেটর ও তাদের এক্সপেকটেশন ভ্যালূ – কোয়ান্টাম মেকানিক্সের এই বনিয়াদি ব্যাপারগুলি সম্মন্ধে জেনেছি। আজ আমরা আরো একটু এগিয়ে যাবো। তোমরা দেখেছো যে কোন কোয়ান্টাম সিষ্টেমের সমস্ত তথ্য ওই সিষ্টেমের ওয়েভ ফাংশনের মধ্যেই ভরা থাকে; ওয়েভ ফাংশনটিকে খু৺জে পেলেই ওই সিষ্টেম সম্মন্ধে যা কিছু জানা সম্বভ তার সবটাই জানা যায়। ওয়েভ ফাংশন গণনা করার উপায় প্রথম আবিষ্কার করেছিলেন অস্ট্রীয়ান পদার্থবিদ এরউইন রূডল্ফ যোসেফ আলেক্সান্ডার শ্রোডিঙ্গার (Erwin Rudolf Josef Alexander Schrodinger)। এই মহান বিজ্ঞানীর নাম বাংলাতে লেখাটা একটু খটমটে বিষয়। অনেকে লেখেন “এরভিন শ্রোডিঙার”, কেউ কেউ আবার বলেন “শ্রয়ডিঙ্গার”, “শ্রডিঙ্গার” ইত্যাদি। Continue reading “শ্রোডিঙ্গার ইক্যুয়েশন”

এক্সপেকটেশন ভ্যালূ গণনা – একটি উদাহরণ

আজ আমাদের আলোচ্য বিষয় হল কোন একটি প্রদত্ত ওয়েভ ফাংশন থেকে বিভিন্ন পরিমাপযোগ্য রাশির এক্সপেকটেশন ভ্যালূ গণনা। এর আগের পোস্টের প্রবন্ধটি পড়ে থাকলে আজকের এই বিষয়টি বুঝতে তোমাদের বিন্দুমাত্র অসুবিধা হবেনা; উল্টে তোমরাই আমাকে শিখিয়ে দিতে পারবে! তবুও সম্পূর্ণতার স্বার্থে আমি একটি উদাহরণ দিয়ে ব্যাপারটি একটু আলোচনা করব। ধর আমরা কোন একটি কোয়ান্টাম কণার গতি সম্পর্কিত বিভিন্ন পরিমাপযোগ্য রাশি যেমন অবস্থান ( $x$ ), ভরবেগ ( $p$ ) এবং গতিশক্তির ( $E_k$ ) এক্সপেকটেশন ভ্যালূ বা গড় মান নির্ণয় করতে চাই। সেজন্য আমাদের প্রথমেই যেটা চাই সেটা হল ওই কণার ওয়েভ ফাংশন। ওয়েভ ফাংশন কিভাবে গণনা করতে হয় সেটা তোমরা এর পরের পোষ্টে দেখতে পাবে। আজ আমি একটি ওয়েভ ফাংশন তোমাদের দিয়ে দেব! Continue reading “এক্সপেকটেশন ভ্যালূ গণনা – একটি উদাহরণ”