ইনফাইনাইট কোয়ান্টাম ওয়েল – সময় নির্ভর ওয়েভ ফাংশন

তোমাদের নিশ্চয় মনে আছে যে শ্রোডিঙ্গারের সমীকরণ মূলত একটি সময় নির্ভর সমীকরণ। সুতরাং তার সমাধানও সময়ের উপর নির্ভর করবে সেটাই স্বাভাবিক। যেহেতু ইনফাইনাইট ওয়েলের পোটেনশিয়াল বা স্থিতিশক্তি সময়ের উপর নির্ভর করেনা তাই আমরা শ্রোডিঙ্গারের সমীকরণের সমাধান ওয়েভ ফাংশনকে টেম্পোরাল (temporal – সময়ের উপর নির্ভরশীল) ও স্পেশিয়াল (spatial – স্পেস বা স্থানের উপর নির্ভরশীল) পার্টে আলাদা করে নিতে পেরেছি। তার মানে কিন্তু এটা নয় যে ইনফাইনাইট ওয়েলের ওয়েভ ফাংশন সময় অনির্ভর! আজকের পোষ্টে আমরা দেখব কিভাবে ইনফাইনাইট কোয়ান্টাম ওয়েলের সময় অনির্ভর ওয়েভ ফাংশন থেকে সময় নির্ভরশীল ওয়েভ ফাংশন লেখা যায়। তোমরা জানো যে, যদি কোয়ান্টাম ওয়েলের কোন লেভেল বা স্টেটের প্ৰিন্সীপল কোয়ান্টাম নম্বর n হয়, তবে সেই লেভেলের স্টেশনারী ওয়েভ ফাংশন (Psi_n(x)) ও শক্তি (E_n) হল যথাক্রমে, Continue reading “ইনফাইনাইট কোয়ান্টাম ওয়েল – সময় নির্ভর ওয়েভ ফাংশন”

ইনফাইনাইট কোয়ান্টাম ওয়েলের ওয়েভ ফাংশন – আরও কিছু কথা

ইনফাইনাইট কোয়ান্টাম ওয়েল বা কূপের সম্মন্ধে কিছু মজার কথা আগের পোষ্টে তোমরা জেনেছো; আজ আরও কিছু কথা আজ তোমাদের বলব। ইনফাইনাইট কোয়ান্টাম ওয়েলের ক্ষেত্রে সময় অনির্ভর শ্রোডিঙ্গার সমীকরণের সমাধান হল

Psi_n(x) = sqrt{\frac{2}{L}}mathrm{sin}(npi x/L)

যেখানে L হল কূপের প্রস্থ (width)। যেহেতু ওয়েভ ফাংশন n-এর মানের উপর নির্ভর করে এবং বিভিন্ন n-এর মানের জন্য আলাদা আলাদা ওয়েভ ফাংশন পাওয়া যাবে, তাই ওয়েভ ফাংশনটিকে Psi_n(x) হিসেবে লেখা হয়েছে। নিচের ছবিটিতে n এর কয়েকটি মানের জন্য ওয়েভ ফাংশন দেখতে কেমন হবে তা একে দেখানো হয়েছে। Continue reading “ইনফাইনাইট কোয়ান্টাম ওয়েলের ওয়েভ ফাংশন – আরও কিছু কথা”

ইনফাইনাইট কোয়ান্টাম ওয়েল (কূপ)

এতদিন আমরা কোয়ান্টাম মেকানিক্সের মূল বিষয়গুলো আলোচনা করেছি। আজ আমি কোয়ান্টাম মেকানিক্স প্রয়োগের একটি সহজ উদাহরণ দেব। মনে কর একটি বলকে গভীর কূপের মধ্যে ফেলে দেওয়া হল; নিউটোনিয়ান মেকানিক্স অনুসারে কিভাবে কূপের মধ্যে ফেলা হয়েছে তার উপর নির্ভর করে বলটির গতিশক্তির যেকোনো মান থাকতে পারে। গতিশক্তি শূন্যও হতে পারে; কূপের ব্যাসার্ধ ছোট কিংবা বড় করা হলেও বলের শক্তির কোন পরিবর্তন হয়না। কিন্তু যদি বলের বদলে একটি ইলেকট্রন বা অন্য কোন কোয়ান্টাম কণাকে (যার জন্য কোয়ান্টাম মেকনিক্স প্রযোজ্য) কূপের মধ্যে ফেলা হয়, তবে দেখা যায় যে ওর শক্তি কখওনই শূন্য হতে পারেনা; গতিশক্তির একটি সর্বনিম্ন মান সবসময়ই থাকে। শুধু তাই নয়, কূপের ব্যাসার্ধ যত ছোট করা হয়, কূপের মধ্যে অবস্থিত ইলেকট্রনের গতিশক্তি ততই বাড়তে থাকে। কোয়ান্টাম কণার এই  অদ্ভুত আচরনের কারণ হল হাইজেনবার্গের অনিশ্চয়তা নীতি (একটু ভেবে দেখো) বা কণার তরঙ্গ ধর্ম। Continue reading “ইনফাইনাইট কোয়ান্টাম ওয়েল (কূপ)”

কোয়ান্টাম অপারেটর, সহজ করে

আজকের বিষয়বস্তু খুব ছোট্ট। এদ্দিনে তোমরা “অপারেটর” – এই শব্দটা অনেকবার শুনেছো; অনেকে হয়তো ওটার মানে খুব ভালো করে বুঝেও গেছো। আমাদের আজকের আলোচনা শুধু সেইসব বন্ধুদের জন্য যাদের এখনো পর্যন্ত শব্দটা শুনলে মাথায় ঠিক “ঘন্টা” বাজেনা। বন্ধুগণ, চিন্তার কোনো কারণ নেই! কথায় আছেনা – “একবারে না পারিলে কর শতবার”। তাই আমি চেষ্টা করব আরো একটু সহজ করে এই অপারেটর শব্দটা তোমাদের মস্তিষ্কে প্রবেশ করানোর। আশাকরি তোমাদের মাথার খূলি আমার মত এত মোটা নয় যে আঠারোবার চেষ্টা করে তারপর সফল হতে হবে! আমার বিশ্বাস তোমরা একবারেই শিখে যাবে। Continue reading “কোয়ান্টাম অপারেটর, সহজ করে”

টাইম ইনডিপেনডেন্ট শ্রোডিঙ্গার সমীকরণ

এর আগের পোষ্টে  আমরা সময় নির্ভর শ্রোডিঙ্গারের সমীকরনের সাথে পরিচিত হয়েছি, যা সময় (t) ও স্থান (x) – উভয়ের উপরেই নির্ভর করে। কিন্তু বাস্তবে কিছু ক্ষেত্রে শ্রোডিঙ্গারের সমীকরণকে স্থান ও কালে (space and time coordinates) আলাদা করে নেওয়া সম্ভব; এই সব ক্ষেত্রে ওয়েভ ফাংশন নির্ণয়ের জন্য একটা অপেক্ষাকৃত সহজ সমীকরনের সাহায্য নেওয়া হয়, যা টাইম ইনডিপেনডেন্ট শ্রোডিঙ্গারের সমীকরণ নামে পরিচিত। ঠিক কোন কোন অবস্থায় এইরকম সময় অনির্ভর শ্রোডিঙ্গার ইক্যুয়েশন ব্যবহার করা যায় আমরা এবারে সেটাই দেখব। সময় নির্ভর একমাত্রিক শ্রোডিঙ্গারের সমীকরণটি লিখে আমি আজকের আলোচনা শুরু করছি।

\displaystyle -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}Psi(x,t) + VPsi(x,t) = i\hbar\frac{\partial}{\partial t}Psi(x,t) ——————– (1) Continue reading “টাইম ইনডিপেনডেন্ট শ্রোডিঙ্গার সমীকরণ”

শ্রোডিঙ্গার ইক্যুয়েশন

এতদিনে আমরা তরঙ্গ-কণা দ্বৈত, আনসার্টেনটি নীতি, ওয়েভ ফাংশন, অপারেটর ও তাদের এক্সপেকটেশন ভ্যালূ – কোয়ান্টাম মেকানিক্সের এই বনিয়াদি ব্যাপারগুলি সম্মন্ধে জেনেছি। আজ আমরা আরো একটু এগিয়ে যাবো। তোমরা দেখেছো যে কোন কোয়ান্টাম সিষ্টেমের সমস্ত তথ্য ওই সিষ্টেমের ওয়েভ ফাংশনের মধ্যেই ভরা থাকে; ওয়েভ  ফাংশনটিকে খু৺জে পেলেই ওই সিষ্টেম সম্মন্ধে যা কিছু জানা সম্বভ তার সবটাই জানা যায়। ওয়েভ ফাংশন গণনা করার উপায় প্রথম আবিষ্কার করেছিলেন অস্ট্রীয়ান পদার্থবিদ এরউইন রূডল্ফ যোসেফ আলেক্সান্ডার শ্রোডিঙ্গার (Erwin Rudolf Josef Alexander Schrodinger)। এই মহান বিজ্ঞানীর নাম বাংলাতে লেখাটা একটু খটমটে বিষয়। অনেকে লেখেন “এরভিন শ্রোডিঙার”, কেউ কেউ আবার বলেন “শ্রয়ডিঙ্গার”, “শ্রডিঙ্গার” ইত্যাদি। Continue reading “শ্রোডিঙ্গার ইক্যুয়েশন”

এক্সপেকটেশন ভ্যালূ গণনা – একটি উদাহরণ

আজ আমাদের আলোচ্য বিষয় হল কোন একটি প্রদত্ত ওয়েভ ফাংশন থেকে বিভিন্ন পরিমাপযোগ্য রাশির এক্সপেকটেশন ভ্যালূ গণনা। এর আগের পোস্টের প্রবন্ধটি পড়ে থাকলে আজকের এই বিষয়টি বুঝতে তোমাদের বিন্দুমাত্র অসুবিধা হবেনা; উল্টে তোমরাই আমাকে শিখিয়ে দিতে পারবে! তবুও সম্পূর্ণতার স্বার্থে আমি একটি উদাহরণ দিয়ে ব্যাপারটি একটু আলোচনা করব। ধর আমরা কোন একটি কোয়ান্টাম কণার গতি সম্পর্কিত বিভিন্ন পরিমাপযোগ্য রাশি যেমন অবস্থান (x), ভরবেগ (p) এবং গতিশক্তির (E_k) এক্সপেকটেশন ভ্যালূ বা গড় মান নির্ণয় করতে চাই। সেজন্য আমাদের প্রথমেই যেটা চাই সেটা হল ওই কণার ওয়েভ ফাংশন। ওয়েভ ফাংশন কিভাবে গণনা করতে হয় সেটা তোমরা এর পরের পোষ্টে দেখতে পাবে। আজ আমি একটি ওয়েভ ফাংশন তোমাদের দিয়ে দেব! Continue reading “এক্সপেকটেশন ভ্যালূ গণনা – একটি উদাহরণ”

অপারেটর ও এক্সপেকটেশন ভ্যালূ

গত পোষ্টের পর অনেকগুলি দিন অতিবাহিত হয়ে গেছে, অথচ নতুন পোষ্ট করা হয়ে ওঠেনি। আসলে এ-কয়েকদিন একটি ছোট্ট কোয়ান্টাম সিষ্টেমের ওয়েভ ফাংশন ক্যালকুলেট করাতে মগ্ন ছিলাম। এটা শুনে আবার আমাকে একটা দাম্ভিক পণ্ডিত ভাবতে বোসনা যেন; আমি একেবারেই সাদাসিধে মা-মাটির-মানুষ ! এই প্রসঙ্গটা তুললাম তার কারণ এর পরের কিছু পোষ্টে আমরা জানব কিভাবে কোন সিষ্টেমের ওয়েভ ফাংশন গণনা করা হয়। শুধু তাই নয়, আমরা এটাও জানব কিভাবে ওয়েভ ফাংশন থেকে কোয়ান্টাম সিষ্টেমের শক্তি নির্ণয় করা যায়। তবে তার আগে আমাদের অপারেটর ও এক্সপেকটেশন ভ্যালূ – কথা দুটির মানে ভালো করে বুঝে নিতে হবে। Continue reading “অপারেটর ও এক্সপেকটেশন ভ্যালূ”

প্রবাবিলিটি ও গড় মান

ধর তুমি একটি কয়েন টস করলে। তাহলে হেড পাওয়ার সম্ভাবনা কত? সহজ প্রশ্ন; তোমরা সকলেই জানো যে এর উত্তর হল 50% (বা ভগ্নাংশে বললে 0.5)। এখন প্রশ্ন হল কিভাবে এই উত্তর এল? কয়েন টস করলে হয় হেড পড়বে নয়তো টেইল পড়বে। অর্থাৎ সম্ভাব্য ফলের মোট সংখ্যা 2। যেহেতু হেড ও টেইল পড়ার সম্ভাবনা সমান, তাই তার মধ্যে যেকোন একটি ফল পাওয়ার সম্ভাবনা হল 1/2 বা 0.5 বা 50%। চল আরেকটি উদাহরণ দেওয়া যাক। মনে কর একটি ব্যাগের মধ্যে 2 টি কালো বল ও 6 টি লাল বল আছে। তাহলে চোখ বন্ধ করে ব্যাগের থেকে একটি কালো বল বের করার সম্ভাবনা কত? ব্যাগের মধ্যে মোট বলের সংখ্যা 2 + 6 = 8। আর মোট কালো বলের সংখ্যা 2। অর্থাৎ মোট 8 টির মধ্যে 2 টি বল কালো। সুতরাং চোখ বন্ধ করে ব্যাগের মধ্যে থেকে একটি বল বের করলে তার কালো হওয়ার সম্ভাবনা বা প্রবাবিলিটি = 2/8 = 1/4 = 0.25 বা 25%। Continue reading “প্রবাবিলিটি ও গড় মান”

কোয়ান্টাম আনসার্টেনটি – প্রকৃতির বৈশিষ্ট না আমাদের অজ্ঞতা?

প্রকৃতিকে বোঝার চেষ্টায় মানুষের আবিষ্কৃত সফলতম তত্ত্বের অন্যতম হল কোয়ান্টাম মেকানিক্স। অথচ কণার অবস্থান মাপার মত সহজ পরীক্ষার ফল কি হবে সেটাও কোয়ান্টাম মেকানিক্স নিশ্চয়তার সঙ্গে বলতে পারেনা। এটা শুধু কোন পরীক্ষার সম্ভাব্য ফল কি কি হতে পারে এবং সেগুলি পাওয়ার সম্ভাবনা কতটা তাই ব্যক্ত করতে পারে। এই কোয়ান্টাম অনিশ্চয়তা কোয়ান্টাম তত্ত্বের জন্মলগ্ন থেকেই পদার্থবিদ থেকে শুরু করে দার্শনিক, সকলকেই সমানভাবে বিহ্বল করেছে। আইনস্টাইন তো একবার বিরক্ত হয়ে বলেই দিয়েছিলেন “God does not play dice (ভগবান পাশা খেলেন না)”। অথচ আইনস্টাইনের নিজের কোয়ান্টাম মেকানিক্স সৃষ্টিতে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা ছিল। তাই আমাদের মনেও এই সন্দেহটা আসা খুবই স্বাভাবিক যে কোয়ান্টাম অনিশ্চয়তা কি সত্যিই প্রকৃতির অন্তর্নিহিত বৈশিষ্ট, না কি প্রকৃতি সম্মন্ধে আমদের অজ্ঞতার ফল? আজ এই প্রশ্নটিই আলোচনা করব। Continue reading “কোয়ান্টাম আনসার্টেনটি – প্রকৃতির বৈশিষ্ট না আমাদের অজ্ঞতা?”